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第6章运算方法

📖 本章介绍计算机中数据的表示方法和算术运算，是课程的重点和难点。 🎯 重点理解补码运算和浮点数表示 ⚠️ 考试范围：不考6.3.4、6.4.2、6.4.3、6.5节。重点复习例题6.2~~6.4、6.6、6.8~~6.23、6.29、6.30

📋 本章目录

6.1 无符号数和有符号数

6.1.1 无符号数

[!info] 定义没有符号的数，所有位都表示数值。

表示范围（n位）：

0 \sim 2^n - 1

其中 n 为二进制位数。比如16位无符号数范围：0 ~ 2¹⁶-1 = 0 ~ 65535。

[!example] 示例 16位无符号数：0 ~ 65535

无符号数就像你钱包里的钱，只有正数没有负数，范围从0到最大值。内存地址、数组索引、颜色值通常用无符号数表示。

6.1.2 有符号数

机器数与真值

概念	定义	示例
真值	带正负号的数	+1100, -1100
机器数	符号数字化的数	0,1100, 1,1100

符号编码：

0 表示正数
1 表示负数

真值用"+"和"-"表示正负，人容易理解但计算机不好处理；机器数用0和1表示正负，计算机容易处理但人不好理解。就像温度计用"+"和"-"表示零上和零下。

1. 原码表示法

[!info] 定义符号位 + 数值的绝对值

整数原码：

[x]_{原} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ 2^n - x & 0 \geq x > -2^n \end{cases}

其中 x 为真值，n 为数值部分位数（不含符号位）。正数原码直接在符号位填0后跟数值；负数原码符号位填1，数值部分为 $2^n - x$（即模减去真值的绝对值）。

小数原码：

[x]_{原} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ 1 - x & 0 \geq x > -1 \end{cases}

正小数原码就是本身；负小数原码为 $1-x$（即1减去真值，等价于1加上绝对值）。

[!example] 示例

x = +1110 → [x]原 = 0,1110

x = -1110 → [x]原 = 1,1110

x = +0.1101 → [x]原 = 0.1101

x = -0.1101 → [x]原 = 1.1101

零的表示：

[+0]原 = 0.0000
[-0]原 = 1.0000

特点：表示简单易于转换，但加减运算复杂，零有两种表示。

原码用0表示正数1表示负数，后面跟着数值的绝对值。表示简单容易理解，但加减运算需要考虑符号，零有两种表示（+0和-0）。就像温度计用"+"和"-"表示零上和零下。

2. 补码表示法

[!important] 核心思想用正数代替负数，将减法转换为加法。

补数的概念（时钟例子）：

时钟模为12
-3 ≡ +9 (mod 12)
9 - 5 = 9 + 7 = 16 ≡ 4 (mod 12)

整数补码：

[x]_{补} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ 2^{n+1} + x & 0 > x \geq -2^n \end{cases}

其中 x 为真值，n 为数值部分位数。正数补码和原码相同；负数补码为 $2^{n+1} + x$（即模 2^{n+1} 加上真值，等价于原码取反加1）。8位补码的模是 $2^8 = 256$。

小数补码：

[x]_{补} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ 2 + x & 0 > x \geq -1 \end{cases}

正小数补码就是本身；负小数补码为 $2+x$（模为2，即取反加1）。

[!example] 示例

x = +1010 → [x]补 = 0,1010

x = -1010 → [x]补 = 2^5 + (-1010) = 100000 - 1010 = 1,0110

x = +0.1001 → [x]补 = 0.1001

x = -0.1001 → [x]补 = 2 + (-0.1001) = 1.0111

零的表示：[+0]补 = [-0]补 = 0.0000（唯一表示）

补码范围（n位整数）：-2^n \sim +(2^n - 1)

[!warning] 特殊值 8位补码：-128的补码为10000000，没有对应的原码

补码可以用时钟来理解：时钟模为12，-3小时相当于+9小时（因为-3+12=9）。补码就是用正数代替负数，将减法转换为加法。正数直接用原码表示，负数用模减去绝对值。

比如8位二进制：-10的补码是256-10=246=11110110。补码的优点是加减运算简单不需要考虑符号，零只有一种表示，范围比原码大1。缺点是表示不直观需要转换。所有整数运算都用补码。

3. 反码表示法

整数反码：

[x]_{反} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ (2^{n+1}-1) + x & 0 \geq x > -2^n \end{cases}

其中 x 为真值，n 为数值部分位数。正数反码和原码相同；负数反码为 $(2^{n+1}-1)+x$，等价于原码除符号位外每位取反。反码是补码减1（补码=反码+1）。

小数反码：

[x]_{反} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ (2-2^{-n}) + x & 0 \geq x > -1 \end{cases}

其中 n 为小数部分位数。负小数反码为 $(2-2^{-n})+x$，即 $1.111...1$（n个1）加上真值。

[!example] 示例

x = +1101 → [x]反 = 0,1101

x = -1101 → [x]反 = 1,0010

零的表示：

[+0]反 = 0.0000
[-0]反 = 1.1111

反码是补码减1，正数和原码相同，负数是原码除符号位外取反。是计算补码的中间步骤，某些旧计算机使用反码。

4. 移码表示法

[!info] 定义移码 = 补码符号位取反

用途：便于比较大小（移码大的真值大）

整数移码：

[x]_{移} = 2^n + x \quad (-2^n \leq x < 2^n)

其中 x 为真值，n 为数值部分位数，2^n 是偏移量。移码=补码符号位取反，本质是把所有数都加上偏移量变成正数，这样直接比较二进制大小就能比较真值大小。8位移码偏移量为128。

[!example] 示例

x = +1010 → [x]移 = 1,1010

x = -1010 → [x]移 = 0,0110

移码把所有数都加上一个偏移量变成正数，便于比较大小。偏移量是128（8位移码），-128变成0，0变成128，+127变成255。浮点数的阶码通常用移码表示。

四种编码对比

编码	符号位	零的表示	范围	运算
原码	0正1负	两种	`-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)`	复杂
补码	0正1负	唯一	`-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)`	简单
反码	0正1负	两种	`-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)`	较复杂
移码	1正0负	唯一	`-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)`	便于比较

转换关系：正数原码=反码=补码，负数补码=反码+1。

原码直接用符号位和绝对值，简单直观但运算复杂零有两种表示；补码用正数代替负数，运算简单零只有一种表示但表示不直观；反码是补码减1，是计算补码的中间步骤；移码补码符号位取反，便于比较大小。

6.2 定点数

6.2.1 定点表示

[!info] 定义小数点位置固定的数

两种形式：

graph LR
    subgraph "定点整数"
        A1[符号位] --> B1[数值部分] --> C1[小数点在最后]
    end

    subgraph "定点小数"
        A2[符号位] --> B2[小数点] --> C2[数值部分]
    end

表示范围：

类型	原码范围	补码范围
定点整数	`-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)`	`-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)`
定点小数	`-(1-2^{-(n-1)}) \sim +(1-2^{-(n-1)})`	`-1 \sim +(1-2^{-(n-1)})`

定点数用固定刻度的尺子：定点整数小数点在最后只表示整数，比如1010表示10；定点小数小数点在符号位后面只表示小数，比如0.1010表示0.625。

6.3 浮点数

6.3.1 浮点表示

[!info] 定义小数点位置可浮动的数，类似科学计数法。

表示形式：

N = S \times r^j

S：尾数（小数）
j：阶码（整数）
r：基数（通常为2）

存储格式：

graph LR
    subgraph "浮点数格式"
        MS[阶符] --> E[阶码] --> M[数符] --> N[尾数]
    end

浮点数就像科学计数法，把一个数表示成尾数乘以2的阶码次方。比如101.1=1.011×2²，可以表示很大或很小的数。

6.3.2 浮点数规格化

规格化目的：提高精度，使尾数的最高位为1。

规格化方法：

左规：尾数左移，阶码减1
右规：尾数右移，阶码加1

规格化前0.001011×2³尾数前面有0精度低，规格化后1.011×2⁰尾数最高位为1精度高。

6.3.3 IEEE 754标准

⚠️ 这是考试高频考点，IEEE 754格式转换在期中考试和样卷中都出现过。

单精度浮点数（32位）：符号位1位，阶码8位（移码表示），尾数23位 双精度浮点数（64位）：符号位1位，阶码11位（移码表示），尾数52位

IEEE 754格式要点：

阶码采用移码表示，偏移量为 $2^{n-1}-1$（单精度偏移127，双精度偏移1023）
尾数隐含一个整数位1（隐含的"1"），实际存储的是小数部分
阶码全0和全1有特殊含义（0、无穷大、NaN）

[!example] 示例：IEEE 754转换十进制-53 → IEEE 754单精度：符号位1，阶码132（偏移后），尾数1.10101 详细过程见下方"真题与作业精选"部分

IEEE 754标准是浮点数的"国家标准"：单精度32位精度较低但速度快，用于大多数图形处理和科学计算；双精度64位精度高但速度慢，用于高精度科学计算和金融计算。

6.4 定点运算

6.4.1 移位运算

⚠️ 算术移位是作业原题考点，不同编码（原码、补码、反码）的移位规则不同，需要特别注意。

算术移位：左移相当于乘以2，右移相当于除以2

不同编码的移位规则：

编码	左移低位补	右移高位补
原码	补0	补0
反码	补0（正数）/补1（负数）	补0（正数）/补1（负数）
补码	补0	正数补0，负数补1（即补符号位）

注意：算术左移可能溢出。比如原码1.1101000左移一位得到1.1010000，最高数值位的1被移出导致溢出。这是考试中常见的陷阱，三种编码的移位结果可能不同，具体示例见"真题与作业精选"部分。

算术移位像移动小数点，左移小数点向右移动数值变大，右移小数点向左移动数值变小。逻辑移位所有位向左或向右移动。1010左移1位变成10100（10→20）。

逻辑移位：左移高位移出低位补0，右移低位移出高位补0

6.5 浮点运算

6.5.1 浮点加减运算

⚠️ 6.5节不在考试范围内，以下内容仅供了解。

步骤：

对阶：使两个数的阶码相同
尾数运算：对阶后进行尾数加减
规格化：结果规格化
舍入：处理精度问题
溢出判断：检查阶码是否溢出

浮点加减运算像科学计数法加减：对阶使两个数的阶码相同，小阶向大阶看齐；尾数运算对阶后进行尾数加减；规格化使结果符合规格化要求；舍入处理精度问题；溢出判断检查阶码是否溢出。

1.01×2²+1.10×2¹：对阶变成1.01×2²+0.110×2²，尾数运算1.01+0.110=10.00，规格化10.00×2²=1.00×2³=8。

6.5.2 浮点乘除运算

乘法：阶码相加，尾数相乘，规格化除法：阶码相减，尾数相除，规格化

浮点乘除运算像科学计数法乘除：10²×10³=10⁵，1.2×3.4=4.08，1.2×10²×3.4×10³=4.08×10⁵。

📝 本章小结

核心概念

数据表示：原码、补码、反码、移码
定点数：小数点位置固定
浮点数：小数点位置可浮动
定点运算：移位、加减、乘除
浮点运算：对阶、尾数运算、规格化

关键术语

术语	英文	含义
原码	Sign-Magnitude	符号位+绝对值
补码	Two's Complement	用正数代替负数
反码	One's Complement	补码减1
移码	Excess Code	补码符号位取反
浮点数	Floating Point	小数点位置可浮动

重点图示

[!summary] 必须掌握的图

四种编码的转换关系

定点数和浮点数的表示

浮点数加减运算流程

IEEE 754标准格式

📖 真题与作业精选

以下是来自期中考试、样卷和课后作业的真实题目，覆盖本章核心考点。

真题1：补码加减运算（期中原题）

题目：已知 A=-87, B=53，用8位补码计算 A-B。

解答过程：

首先求出A和B的补码表示：

A = -87，87的二进制为01010111，取反加1得 [A]补 = 10101001
B = 53，53的二进制为00110101，[B]补 = 00110101
A - B = A + (-B)，需要求 [-B]补：B的补码取反加1得 [-B]补 = 11001011

补码相加：

  10101001   (A的补码)
+ 11001011   (-B的补码)
-----------
1 01110100   最高位进位丢弃

结果 [A-B]补 = 01110100，真值为 +116。

判断溢出：A是负数（符号位1），-B是负数（符号位1），两个负数相加结果为正数（符号位0），发生负溢出。

💡 这道题展示了补码减法的完整过程：减法转化为加法，以及双符号位溢出判断法——两个负数相加得正数即为溢出。

真题2：IEEE 754转换（样卷原题）

题目：将IEEE 754单精度浮点数 C2540000H 转换为十进制。

解答过程：

十六进制转二进制：C2540000H = 11000010 01010100 00000000 00000000

按IEEE 754格式拆分：

符号位：1（负数）
阶码：10000100 = 132，偏移后 e = 132 - 127 = 5
尾数：01010100 00000000 00000000，加上隐含的1，实际尾数为 1.01010100... = 1.10101

计算结果：

-(1.10101)_2 \times 2^5 = -110101.0_2 = -(53)_{10}

💡 IEEE 754转换是高频考点，步骤：十六进制→二进制→拆分符号/阶码/尾数→阶码减偏移量→组装尾数（加隐含1）→计算结果。考试时务必注意阶码偏移量是127（单精度）或1023（双精度）。

真题3：浮点数表示（期中原题）

题目：用浮点数表示 x₁=7.375 和 x₂=-86.5，分别写出阶码和尾数的原码及补码形式。

解答过程：

x₁ = 7.375：

转换为二进制：7.375 = 111.011 = 0.111011 × 2³（规格化）
阶码3，8位原码：00000011
尾数0.111011，补足位数：0.1110110000
因为是正数，原码 = 补码

x₂ = -86.5：

转换为二进制：86.5 = 1010110.1 = 0.10101101 × 2⁷（规格化）
阶码7，8位原码：00000111
尾数为负数：原码为 1.1010110100，补码需要对负数尾数取反加1

💡 浮点数表示需要注意：1）规格化（尾数最高位为1）；2）阶码和尾数的符号分开处理；3）负数尾数的补码表示不要遗漏。这也是期中考试考过的原题。

真题4：算术移位（第6章作业原题）

题目：对以下三个数分别进行算术左移一位，比较三种编码的结果。

原 = 1.1101000
[y]补 = 1.1101000
[z]反 = 1.1101000

解答过程：

原码左移：符号位不变，数值位整体左移，低位补0。

1.1101000 → 1.1010000
原码左移后最高数值位的1被移出，发生溢出，结果出错。

补码左移：符号位不变，数值位整体左移，低位补0。

1.1101000 → 1.1010000
补码的左移规则与原码相同（低位补0），此结果正确。

反码左移：负数反码低位补1。

1.1101000 → 1.1010001
反码负数左移时低位补1，结果正确。

💡 三种编码左移规则的区别是作业重点：原码和补码左移低位补0，但原码需额外判断溢出；反码负数低位补1。这些细微差异是考试中容易丢分的地方。

⚡ 知识点速记卡

考前快速过一遍，30秒回忆整章核心

本章考试重点排序（按出现频率）：

补码加减运算 —— 期中必考，期末高频，掌握溢出判断（双符号位法）
IEEE 754浮点数转换 —— 样卷、期中均有原题，熟记偏移量127/1023
浮点数规格化表示 —— 期中原题，注意阶码和尾数分别编码
算术移位 —— 作业原题，三种编码移位规则的区别
Booth算法（补码乘法） —— 课后习题重点，理解每步的判断规则

四种编码速记：原码（符号+绝对值，零有两种）、补码（正代负，零唯一，运算最简单）、反码（补码-1，过渡用）、移码（补码符号取反，便于比较大小）。

正数：原码=反码=补码。负数：补码=反码+1。口诀：正数不变，负数取反加1。

补码范围（n位）：-2^(n-1) ~ +(2^(n-1)-1)。8位补码：-128~127。-128没有对应原码！

补码加减运算：加法直接加，减法变补码后加。溢出判断：两个正数相加得负数（正溢出），两个负数相加得正数（负溢出）。口诀：同号相加看结果，异号相加不会溢出。

定点数：小数点位置固定。定点整数（小数点在末尾）、定点小数（小数点在符号位后）。

浮点数 = 尾数 × 2^阶码，类似科学计数法。规格化：尾数最高位为1，左规尾数左移阶码减1，右规尾数右移阶码加1。

IEEE 754单精度（32位）：1位符号 + 8位阶码（移码，偏移127）+ 23位尾数。隐含整数位1。阶码全0和全1有特殊含义。

IEEE 754转换速查：

十六进制→二进制→拆分（1+8+23）
阶码值 - 127 = 实际指数
尾数前加隐含的1.，乘以2的指数次方
符号位1为负，0为正

浮点加减五步：对阶（小阶向大阶看齐）→ 尾数运算 → 规格化 → 舍入 → 溢出判断。

移位运算：算术左移=×2，算术右移=÷2。逻辑移位补0，算术移位保持符号位。注意原码、补码、反码移位时低位补值不同。

🧪 例题与解析

例题1：补码计算

题目：计算8位补码的表示范围，并求-5的补码。

答案：

8位补码范围：-2⁷=-128到2⁷-1=127，即-128~127。 -5的补码：5的二进制00000101，取反11111010，加1得11111011。

这就像一个8位的时钟，范围-128到127，-5的补码是时钟倒退5小时。

例题2：浮点数表示

题目：将十进制数-0.75表示为IEEE 754单精度浮点数。

答案：

0.75=0.11(二进制)，-0.75=-0.11，规格化-1.1×2⁻¹。符号位1（负数），阶码-1+127=126=01111110，尾数10000000000000000000000。完整表示：1 01111110 10000000000000000000000。

例题3：补码加法

题目：用补码计算 5 + (-3)。

答案：

5的补码00000101，-3的补码11111101，相加：

  00000101
+ 11111101
-----------
1 00000010

补码结果00000010，真值+2。5+(-3)=2✓

例题4：浮点数加法

题目：计算 1.01 × 2² + 1.10 × 2¹。

答案：

对阶：1.10×2¹=0.110×2² 尾数运算：1.010+0.110=10.000 规格化：10.000×2²=1.000×2³=8 验证：1.01×2²=5，1.10×2¹=3，5+3=8✓

例题5：溢出判断

题目：判断8位补码运算 127 + 1 是否溢出。

答案：

127的补码01111111，1的补码00000001，相加得10000000。两个正数相加结果为负数（10000000是-128的补码），发生正溢出。真正结果128，实际结果-128，溢出。

🔗 相关链接

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本章难度：⭐⭐⭐⭐⭐ 困难 重要程度：⭐⭐⭐⭐⭐ 重点 考试提醒：本章是期中考试和期末考试的核心章节，补码运算和IEEE 754几乎必考

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第6章 运算方法

📋 本章目录

6.1 无符号数和有符号数

6.1.1 无符号数

6.1.2 有符号数

机器数与真值

1. 原码表示法

2. 补码表示法

3. 反码表示法

4. 移码表示法

四种编码对比

6.2 定点数

6.2.1 定点表示

6.3 浮点数

6.3.1 浮点表示

6.3.2 浮点数规格化

6.3.3 IEEE 754标准

6.4 定点运算

6.4.1 移位运算

6.5 浮点运算

6.5.1 浮点加减运算

6.5.2 浮点乘除运算

📝 本章小结

核心概念

关键术语

重点图示

📖 真题与作业精选

真题1：补码加减运算（期中原题）

真题2：IEEE 754转换（样卷原题）

真题3：浮点数表示（期中原题）

真题4：算术移位（第6章作业原题）

⚡ 知识点速记卡

🧪 例题与解析

例题1：补码计算

例题2：浮点数表示

例题3：补码加法

例题4：浮点数加法

例题5：溢出判断

🔗 相关链接

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第6章运算方法